Можно ли наследовать внутренние классы?

Да. Внутренние классы можно расширять. В плане наследования классов и реализации интерфейсов у них нет проблем.

public class TestExtend {
    public class InnerClass extends Thread{
        public synchronized void start() {
            super.start();
            System.out.println("Hello from Inner Class extends Thread!");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        new TestExtend().new InnerClass().start();
    }
}